Josephus-Problem

Rätsel aus Henry Ernest Dudeney: Amusements in Mathematics (1917): Die Katze soll jeweils jede 13. Maus fressen, die weiße soll übrig bleiben.

Als Josephus-Problem (auch: Josephsspiel, engl. Josephus problem) ist ein mathematisches Problem bekannt, das auch in der Zauberkunst Anwendung findet, etwa bei Kartenkunststücken auf mathematischer Grundlage.

Beschreibung

Eine Anzahl Gegenstände wird in einem Kreis ausgelegt. Beginnend mit einem der Gegenstände wird eine bestimmte Zahl weitergezählt und der so abgezählte Gegenstand entfernt. Das Ganze kann so eingerichtet werden, dass zum Beispiel bei kreisförmig ausgelegten Spielkarten eine vorher vom Vorführer geheim bestimmte Karte zum Schluss übrig bleibt oder aber zum Beispiel alle roten Karten ausgesondert werden, während die schwarzen liegenbleiben.

Das australische Abzählen ist ein Spezialfall: Hier wird immer um genau 2 weitergezählt.

Geschichte

Der Name geht auf den Soldaten und Historiker Josephus (später Flavius Josephus, *37 oder 38 n. Chr., † nach 100 n. Chr.) zurück.

Nach der Belagerung der Stadt Jotapata durch die Römer im Jahre 67 fiel die Stadt in die Hände der Römer. Der Militärkommandeur Josephus hatte sich mit 40 Soldaten verschanzt. Sie beschlossen, das römische Angebot „Kapitulation gegen Leben“ auszuschlagen und sich selbst umzubringen. Das Los entschied, in welcher Reihenfolge das geschehen sollte. Die beiden Letzten, die übrig blieben, waren Josephus, der ursprünglich gegen den kollektiven Selbstmord war, und ein ein Mann namens Ja'akov. Diese töteten sich nicht und ergaben sich den Römern.

Eine genauere Darstellung, wie die Auswahl der zu Tötenden vor sich ging, findet sich nicht in den historischen Quellen..

Erst in der späteren Literatur taucht die Darstellung auf, dass sich die Soldaten im Kreis aufstellten und zum Beispiel jeden 7. Mann töteten. Daraus ergab sich die mathematische Knobelaufgabe, an welcher Stelle man sich im Kreis einreihen müsse, um als Letzter übrig zu bleiben.

Diese wurde im Laufe der Zeit in verschiedenen Varianten gestellt. Ein japanischer Text aus dem Jahre 1627 beschreibt eine Auszählung zur Bestimmung eines Erben in einer Familie von 30 Kindern, von denen die 15 aus erster Ehe stammen. In De viribus quantitatis von Luca Paciola(1496–1508) findet sich die Beschreibung eines in Seenot geratenen Bootes, von dem nur einige Insassen gerettet werden können, indem die anderen über Bord geworfen werden. Die Forderung lautet, die Christen überleben zu lassen und die Juden über Bord zu werfen.

Cardano führte in Practica arithmeticae generalis (1539) die Bezeichnung Ludus Josephi (Josephsspiel) ein.

Literatur

Beschreibung des mathematischen Problems:

• Ahrens, Wilhelm: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Leipzig, 1901, Seite 286ff - Das Josephsspiel (online verfügbar)
• Bachet, Claude Gaspard: Problèmes plaisants et délectables, 1624, Seite 174ff (online verfügbar)
• Jules D’Hôtel: La prestidigitation sans bagages, Bd. 4, Paris, 1939, Seite 315 - Les quinze sacrifies
• Kraitchik, Maurice: Mathematical recreations, 1882, S. 93 - Josephus' Problem
• Ozanam, Jacques: Recreations Mathematiques Et Physiques, Bd. 1, 1723, Seite 246f - Probleme XLV (online verfügbar)
• Rouse Ball, W. W.: Mathematical Recreations & Essays, 1947, Seite 32 - The Josephus Problem
• Schumer, Peter: The Josephus Problem: Once More around, in: Mathematics Magazine, 75. Jahrgang, Heft 1, Februar 2002, Seite 12ff online verfügbar

Historische Quellen:

• Cremer, William Henry: The Magician's Own Book, 1887, Seite 320 - The Political Trick
• Hans Ernst: Die Historia von den 15 Christen und den 15 Türken, in: Magie, 20. Jahrgang, Heft 12/1937, Seite 312
• Hans, Ernst: Die Historia von den 15 Christen und den 15 Türken, in: Hokus-Pokus, 3. Jahrgang., Heft 8/1941, Seite 2f
• Hoffmann, P. F. L.: Der Zauberstab - Das Neueste der Taschenspielerkunst und natürlichen Magie, Hamburg, 1875, Seite 205f - Der listige Schiffskapitän'
• Heinrich August Kerndörffer: Carlo Bosco's Zauber-Kabinet, Verlag der Ernst'schen Buchhandlung, Quedlinburg und Leipzg, 1870, Seite 191f - Der geprellte Wirth
• Park, Jang-Woo, Teixeira, Ricardo: Serial execution Josephus problem, The Korean Journal of Mathematics, 26. Jahrgang, Heft 1, 2018, Seite 1-7 (online verfügbar)
• Sachs, Hans: Historien und gute Schwänke des Meisters Hans Sachs, Pesth, 1818, Seite 40ff - Die 15 Christen und die 15 Türken, so auf dem Meere fuhren (online verfügbar)
• Ellis Stanyon: Turks and Christians, in: Stanyon's Magic, 13. Jahrgang, Heft 7, April 1913, Seite 54
• van Heusten, W. C.: s'Hertogenbosch, o. J.: Tooverkunsten met de Kaart, Seite 91ff - Het schip in nood
• Wallberg, Johann: Sammlung natürlicher Zauberkünste, Erster Teil, Stuttgart, 1768, Seite 113ff - Dreyßig Personen oder andere Dinge, deren eine Helfte gut und die andere Helfte schlimm, eilfertig solchergestalten in Ordnung zu rangiren, daß, wenn nach dem Loos der Zahlen je die 9te oder 7de Person oder Ding in der Ordnung ausgemustert wird, solch Ausmusterungs-Loos allein die schlimme Helfte treffe, mithin jemanden von 30. Dingen allein die 15. guten Stücke, und einem anderen dagegen die 15. schlimme zufallen
• Witgeest, Simon: Natürliches Zauber-Buch, Nürnberg, 1707, Seite 471ff - Machen/daß unter 30 Personen/worunter 15 Fromme/und 15 Böse seynd/die Bösen sterben/und die Frommen erhalten werden
• o. A.: Dictionnaire Encyclopedique des Amusemens des Sciences Mathématiques et Physiques, Paris, 1792, Seite 166f - Problême XVII

Nutzung des Prinzips für Zauberkunststücke:

• Mac Jen: Farben-Vorhersage, in: Magische Welt, 14. Jahrgang, Heft 4/1965, Seite 124
• Maskell, Alan: Which Witch, in: Linking Ring, 91. Jahrgang, Heft 1/2011, Seite 84ff
• Maskell, Alan: Which Witch, in: Linking Ring, 95. Jahrgang, Heft 11/2015, Seite 94f
• Werner Miller: Nicht..., in: Magische Welt, 57. Jahrgang, Heft 5/2008, Seite 266
• Skuldano: Tempo, in: Zauberkunst, 6. Jahrgang, Heft 6/1960, Seite 159 (Übersetzung aus Triks 1/1959-60)

Web-Links

• Josephus Flavius Problem
• Josephus Flavius game
• Josephus Problem
• Laurent Signac: On the Josephus problem
• YouTube-Video The Josephus Problem - Numberphile

Nachweise

Übersicht: Artikel zum „zyklischen Abzählen:“
Schrittweite 2, getroffene Objekte werden entfernt: Australian Count
konstante Schrittweite, getroffene Objekte werden entfernt: Josephus-Problem	konstante Schrittweite, getroffene Objekte werden nicht entfernt: Prime Number Principle
Schrittzahl ist auf getroffenem Objekt notiert, getroffene Objekte werden entfernt: The Last Drink	Schrittzahl ist auf getroffenem Objekt notiert, getroffene Objekte werden nicht entfernt: Prime Time